- Ряд Лорана
-
Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида
Этот ряд понимается как сумма двух рядов:
- — положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и
- — отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной).
При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Термин назван в честь французского математика П. А. Лорана.
Свойства
- Если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо
- Во всех точках своего кольца сходимости ряд Лорана сходится абсолютно;
- Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
- На любом компактном подмножестве ряд сходится равномерно;
- Сумма ряда Лорана в есть аналитическая функция ;
- Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в почленно;
- Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в , то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
- Коэффициенты ряда Лорана определяются через его сумму формулами
-
- где , , — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.
Теорема Лорана
Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:
Любая однозначная аналитическая функция в кольце представима в сходящимся рядом Лорана.
В частности, в проколотой окрестности
изолированной особой точки однозначная аналитическая функция представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.
Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в кольце с центром в этой точке:
- Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
- Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
- Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
- Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
- Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Категории:- Комплексный анализ
- Ряды
Wikimedia Foundation. 2010.